Softmax Regression Tutorial地址：http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/SoftmaxRegression/

从本节開始，难度開始加大了。我将更具体地解释一下这个Tutorial。

1 Softmax Regression 介绍

前面我们已经知道了Logistic Regression。简单的说就推断一个样本属于1或者0。在应用中比方手的识别。那么就是推断一个图片是手还是非手。这就是非常easy的分类。

其实。我们仅仅要把Logistic Regression练习中的样本换成手的样本。那么就能用训练出来的结果来识别手了，因此Logistic Regression是非常实用且强大的算法。

那么在实际问题中，有非常多问题须要分类的类别非常多(multi-class classification)，比方数字识别，就有0~9 一共10个类，这个时候，我们须要对Logistic Regression进行扩展。这就是Softmax Regression。

因此也称为Multinomial Logistic Regression.

那么基本思想还是概率，我们须要计算p(y=j|x)即样本属于某一个类的概率，从而选择概率最大的那一个作为终于的结果。因此。对于h(x)即Hypothesis，如今就不再仅仅是一个值，而是一个k维向量。

以下就是给出h(x)的表达式，我们在这里不须要深究这是怎样得到的。而仅仅需知道怎么用。依照Andrew Ng在某个lecture视频说的。先让东西work，再来理解。

hθ(x)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢P(y=1|x;θ)P(y=2|x;θ)⋮P(y=K|x;θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥=1∑Kj=1exp(θ(j)⊤x)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢exp(θ(1)⊤x)exp(θ(2)⊤x)⋮exp(θ(K)⊤x)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

那么大家从上面的公式能够看到，如今的參数theta也不再仅仅是一个列向量，而是一个nxk的矩阵，每一行相应一个theta，因此能够例如以下denote：

θ=⎡⎣⎢⎢⎢|θ(1)||θ(2)||⋯||θ(K)|⎤⎦⎥⎥⎥.

2 Cost Function

那么在确定Hypothesis之后，下一步的工作就是确定Cost Function的表达以及每个theta的偏导也就是得到Gradient梯度从而使用梯度下降法。

Tutorial直接给出了Cost Function的表达式：

J(θ)=−⎡⎣⎢⎢∑i=1m∑k=1K1{

y(i)=k}logexp(θ(k)⊤x(i))∑Kj=1exp(θ(j)⊤x(i))⎤⎦⎥⎥

然后假设k=2就是仅仅有0或1，能够推出Logistic Regression的Cost Function是上面公式的特殊形式。

在Softmax Regression 中，有

P(y(i)=k|x(i);θ)=exp(θ(k)⊤x(i))∑Kj=1exp(θ(j)⊤x(i))

然后给出theta偏导的公式：

∇θ(k)J(θ)=−∑i=1m[x(i)(1{

y(i)=k}−P(y(i)=k|x(i);θ))]

这里 ∇θ(k)J(θ) 本身是向量, 因此它的第j个元素是 ∂J(θ)∂θlk ， J(θ) 关于 θ(k)的第j个元素的偏导。

3 Softmax Regression參数化的属性

这里介绍了Softmax Regression的一个特别属性。就是它的參数theta能够多重，即Redundant，就是有一组最优的參数theta，就能够推出无数其它组最优參数，原文以下这句话非常关键：

if the cost function J(θ) is minimized by some setting of the parameters (θ(1),θ(2),…,θ(k)), then it is also minimized by (θ(1)−ψ,θ(2)−ψ,…,θ(k)−ψ) for any value of ψ. Thus, the minimizer of J(θ) is not unique.

那么问题就来了。假设最优參数不唯一，那么怎么来计算呢？怎么最优化？

我们须要引入新的调节參数来保证可计算。这里有两种方法。一种就是指定一个參数为0，这样其它參数就唯一。

还有一种是下一节介绍的。

4 Weight Decay 权值衰减

非常easy的想法，把theta^2作为參数放进Cost Function中，问题就攻克了，这和Regulization（防止overfit的处理）全然一样。

5 Softmax Regression vs. k Binary Classifiers

上面就是Softmax Regression的内容了。那么有另外一个问题：

对于上面识别10个数字的样例。我们仅仅能用Softmax Regression吗？

显然不是，我们还能够用 K Binary Classifiers来解决。

什么意思呢？就是我们弄10个二进制的分类器，或者说十个Logistic Regression。然后一个一个推断某一个样本是属于1，还是2，还是3.。。

。。

这样也是能够解决这个问题的。仅仅只是非常显然。这种效率比較低。须要训练多个分类器

可是并非全部的问题都是这种，有时候我们不能使用Softmax Regression而仅仅能使用k Binary Classifier。根本在于分类的类别是否相关。比方推断一个图片是属于动物，属于鸟类，属于老鹰。。。

这些类是相关的，就不能用Softmax Regression来攻克了。

6 exercise解答

方法和前面的练习都是一样的。最困难的问题在于怎样用Vectorization来将Cost Function和Gradient表达出来。

以下是我的解答，仅仅列出softmax_regression_vec.m

function [f,g] = softmax_regression_vec(theta, X,y)  %  % Arguments:  %   theta - A vector containing the parameter values to optimize.  %       In minFunc, theta is reshaped to a long vector.  So we need to  %       resize it to an n-by-(num_classes-1) matrix.  %       Recall that we assume theta(:,num_classes) = 0.  %  %   X - The examples stored in a matrix.    %       X(i,j) is the i'th coordinate of the j'th example.  %   y - The label for each example.  y(j) is the j'th example's label.  %  m=size(X,2);  n=size(X,1);  % theta is a vector;  need to reshape to n x num_classes.  theta=reshape(theta, n, []);  num_classes=size(theta,2)+1;  theta = [theta,zeros(n,1)];    % initialize objective value and gradient.  f = 0;  g = zeros(size(theta));  %  % TODO:  Compute the softmax objective function and gradient using vectorized code.  %        Store the objective function value in 'f', and the gradient in 'g'.  %        Before returning g, make sure you form it back into a vector with g=g(:);  %%%% YOUR CODE HERE %%%yCompare = full(sparse(y, 1:m, 1));  %??y == k ??

?

%yCompare = yCompare(1:num_classes-1,:); % ?

?y = 10???

M = exp(theta'*X); p = bsxfun(@rdivide, M, sum(M)); f = - yCompare(:)' * log(p(:)); g = - X*(yCompare - p)'; g = g(:,1:num_classes - 1); g=g(:); % make gradient a vector for minFunc

怎样解释是个比較麻烦的问题，我推出的方法还是通过矩阵的size。

首先cost function有两个连加号，这意味着假设每个计算得出一个值，cost function能够得到一个kxm的矩阵，而yCompare就是kxm，因此后面的概率项也应该如此。theta‘*X是非常easy想到的，得到kxm，而对于概率项的分母，我们得这样理解：kxm每个列就是某一个样本相应于每个类的数据，我们因此对于分母项的求法非常easy。就是用sum把每一列的数据加起来。

其它的推导是一样的道理。

执行结果为：

Average error :0.000005  （Gradient Checking 结果显示梯度计算没有问题）

Training accuracy: 94.4%

Test accuracy: 92.2%

这里有一些实用的MATLAB函数须要关注一下：

full 和 sparse。举比例如以下：

>> y = [1 2 3]y =     1     2     3>> sparse(y,1:3,1)ans =   (1,1)        1   (2,2)        1   (3,3)        1>> full(sparse(y,1:3,1))ans =     1     0     0     0     1     0     0     0     1

而bsxfun能够用来做矩阵的各种运算，非常快！

非常多函数假设不清楚一种就是直接在MATLAB help，一种那就是直接百度了。

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